Question

设函数f(x)＝e^x－1－x－ax²．

(Ⅰ)若a＝0，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1， 　　当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0． 　　故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加． 　　(Ⅱ)f′(x)＝ex－1－2ax． 　　由(Ⅰ)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立． 　　故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x， 　　从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0． 　　由ex＞1＋x(x≠0)可得e－x＞1－x(x≠0)． 　　从而当a＞时，f′(x)＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x·(ex－1)(ex－2a)， 　　故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)＜0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)＜0． 　　综合得a的取值范围为．