Question

已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

Answer 1

解：（Ⅰ）f(x)＝

＝

＝2sin(-)

因为　f(x)为偶函数，

所以　对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

因此　sin（--）＝sin(-).

即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),

整理得　sincos(-)=0.因为＞0，且x∈R,所以　cos（-）＝0.

又因为　0＜＜π，故　-＝.所以　f(x)＝2sin(+)=2cos.

由题意得　　　

故　　　　f(x)=2cos2x.

因为　　　

（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.

　

  当　　　　　2kπ≤≤2 kπ+ π  (k∈Z),

  即　　　　　4kπ＋≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.

  因此g(x)的单调递减区间为　　　　　(k∈Z).