Question

（理）数列{a_n}中，，，n∈N^*．
求证：（1）0＜a_n＜1；
（2）a_n＜a_n+1；
（3）．（n≥2）
（参考公式：）

Answer 1

证明：（1）（2）①n=1时，a₁=，
由于条件，
∴a₂=sin（ a₁）=sin =．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故结论成立．
②假设n=k时结论成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
则0＜a_k＜a_k+1＜．
∴0＜sin（ a_k）＜sin（ a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．
（3）∵1＜1+a _n-1＜2，
∴＜（1+a _n-1）＜，
又a_n＜a_n+1，
∴1+a _n-1≥1+a₁，（n≥2）
∴（1+a _n-1）≥（1+a₁）=，
∴1-a _n=sin-sin（a _n-1）=2cos[（1+a _n-1）]sin[（1-a _n-1）]＜sin[（1-a _n-1）]
∵0＜[（1-a _n-1）]＜，又θ是锐角时，sinθ＜θ，
∴sin[（1-a _n-1）]＜（1-a _n-1）
∴．（n≥2）．
分析：（1）、（2）前两小问可一起进行证明．先看当n=1时，可求得a₂，则可验证结论成立；假设n=k时结论成立，根据0＜a_k＜a_k+1＜1，推断出0＜a_k＜a_k+1＜．进而可知0＜sin（ a_k）＜sin（ a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，结论成立，最后综合可知（1）（2）成立．
（3）由于1＜1+a _n-1＜2，结合（1）（2）中的结论得出（1+a₁）的取值范围，从而1-a _n=sin-sin（a _n-1）=2cos[（1+a _n-1）]sin[（1-a _n-1）]＜sin[（1-a _n-1）]，根据0＜[（1-a _n-1）]＜，结合三角函数的性质sinθ＜θ即可证得结论．
点评：本题主要考查了数列递推式、数列与不等式的综合、不等式证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．