Question

已知函数，x≠0
（1）用定义证明函数为奇函数；
（2）用定义证明函数在（0，）上单调递减，在（）上单调递增；
（3）求函数在[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数，x≠0 满足
∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+=-（）=-f（x），
函数，x≠0是奇函数． （5分）
（2）设 0＜x₁＜x₂＜，则 f（x₁）-f（x₂）=-（ ）
=（x₁-x₂）-=（x₁-x₂） （1- ）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1- ）＜0，
∴（x₁-x₂） （1- ）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数在（0，）上单调递减．
设 ＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂） （1- ），
由 ＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1- ）＞0，
∴（x₁-x₂） （1- ）＜0，f（x₁）＜f（x₂），故函数在（）上单调递增．（10分）
（3）由于函数在（1，）上单调递减，在[]上单调递增，
故当x=时，函数有最小值等于==2．
又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+=，故函数在[1，4]上的最大值为．（14分）
分析：（1）由函数的定义域关于原点对称，对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-f（x），即可证明函数为奇函数．
（2）设 0＜x₁＜x₂＜，化简f（x₁）-f（x₂） 的解析式为（x₁-x₂） （1- ）＞0，可得函数在
（0，）上单调递减，同理可证函数在（）上单调递增．
（3）由于函数在（1，）上单调递减，在[]上单调递增，故当x=时，函数有最小值等于，
f（1）和f（4）中较大的就是函数在[1，4]上的最大值．
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的证明，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，属于基础题．