Question

已知A是曲线C₁：y=

a

x-2

 （a＞0）与曲线C₂：x²+y²=5的一个公共点．若C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，则实数a的值是

 

．

Answer 1

分析：设出两曲线的交点A的坐标，代入两曲线解析式，分别记作①和②，由曲线C₁的解析式，求出导函数，把点A的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为曲线C₁在A处的切线的斜率，进而表示出C₁在A处的切线方程，由C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，得到求出的切线方程过曲线C₂的圆心（0，0），把圆心坐标代入切线方程得到一个关系式，记作③，联立①②③，即可求出a的值．

解答：解：设点A的坐标为（x₀，y₀），代入两曲线方程得：
y₀=

a

x0-2

①，x₀²+y₀²=5②，
由曲线C₁：y=

a

x-2

得：y′=-

a

(x-2)2

，
则曲线C₁在A处的切线的斜率k=-

a

(x0-2)2

，
所以C₁在A处的切线方程为：y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀，
由C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，
得到切线方程y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀过圆C₂的圆心（0，0），
则有-

a

(x0-2)2

（0-x₀）+y₀=0，即y₀=-

ax0

(x0-2)2

③，
把③代入①得：

a

x0-2

=-

a

(x0-2)2

x₀从而x0=1再代入①得：y₀=-a；代入②，
得：1+a²=5（a＞0）．
则a=2（-2舍去）．
故实数a的值为2．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，掌握圆切线垂直于过切点的直径的性质，是一道中档题．