Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，求的值．

Answer 1

证明：（1）a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，
∴a₁+1≠0，a_n+1≠0，
=2，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
即a_n+1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1． 　　　…（6分）
（2）∵=，
∴=，
∴2b_n-n=n²，
即b_n=（n²+n）．…（9分）
∴S=++…+
=2（1-+-+…+-）
=2（1-）
=．…（12分）
分析：（1）根据题意可证得=2，从而可求得a_n+1的通项公式，继而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ-1，再由=可求得b_n=（n²+n），利用裂项法可求得S=++…+的值．
点评：本题考查等比数列的通项公式，考查裂项法求和，求得=2（-）是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．