Question

21、已知抛物线y=x²-xcosθ+2sinθ-1（θ为参数）．
（1）求此抛物线在x轴上两截距的平方和与θ的函数关系f（θ）；
（2）求f（θ）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）设x²-xcosθ+2sinθ-1=0的两根为x₁，x₂，由题意知f（θ）=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=cos²θ-4sinθ+2=-（sinθ+2）²+7．
（2）由f（θ）=-（sinθ+2）²+7，-1≤sinθ≤1，知当sinθ=-1时，f（θ）_max=-1+7=6；当sinθ=1时，f（θ）_min=-9+7=-2．

解答：解：（1）设x²-xcosθ+2sinθ-1=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=cosθ，x₁x₂=2sinθ-1，
由题意知f（θ）=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=cos²θ-4sinθ+2
=-（sinθ+2）²+7．
（2）∵f（θ）=-（sinθ+2）²+7，-1≤sinθ≤1，
∴当sinθ=-1时，f（θ）_max=-1+7=6；当sinθ=1时，f（θ）_min=-9+7=-2．
故f（θ）的最小值是-2，最大值是6．

点评：本题以三角函数为载体，考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．