Question

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，DB₁=，E为BB₁上使B₁E=1的点，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G.求：

（1）异面直线AD与C₁G所成的角的大小；

（2）二面角A—C₁G—A₁的正切值.

Answer 1

解法一：（1）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁为异面直线AD与C₁G所成的角.

    如图，连结C₁F.因为AE和C₁F分别是平行平面ABB₁A₁和CC₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以AE∥C₁F，由此可得D₁F=BE=.再由△FD₁G∽△FDA得D₁G=.

    在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁C=得∠C₁GD₁=+.

（2）作D₁H⊥C₁G于H.；连结FH.由三垂线定理知FH⊥C₁G，故∠D₁HF为二面角F—C₁G—D₁，即二面角A—C₁G—A₁的平面角.

    在Rt△GHD₁中，由D₁G=，∠D₁GH=得D₁H=，从而tanD₁HF==2.

解法二：（1）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁为异面直线AD与C₁G所成的角.

    因为EC₁和AF是平行平面BB₁C₁C与AA₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以EC₁∥AF.

    由此可得∠AGA₁=∠EC₁B₁=，

    从而A₁G=AA₁=+1，于是D₁G=.

    在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G=得∠C₁GD₁=.

（2）在△A₁C₁G中，由∠C₁A₁G=，∠A₁GC₁=知∠A₁C₁G为钝角.如图，作A₁H⊥GC₁交GC₁的延长线于H，连结AH.由三垂线定理知GH⊥AH，故∠AHA₁为二面角A—C₁G—A₁的平面角.

    在Rt△A₁HG中，由 A₁G=，∠A₁GH=得A₁H=.

    从而tanAHA₁==2.