Question

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）…对于正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切可知R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到
=Y_n+Y_（n+1），整理得，=2，原式得证．
（2）由（1）可知=2n-1，进而求得x_n的通项公式，代入⊙P_n的面积即可求得的表达式为S_n=（）⁴，要证＜，只需证明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜即可．根据1+（）²+（）²+…（）²=1+（）²+（）²+（）²+…（）2，且1+（）²+（）²+（）²+…（）²＜2，进而可得1+（）²+（）²+…（）＜，进而得T_n=＜
解答：（1）证明：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
所以，R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，即
=Y_n+Y_（n+1）
整理就可以得到，=2
故数列是等差数列
（2）S₁=π（x₁）⁴S₂=π（x₂）⁴…S_n=π（x_n）⁴
约去证明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜即可
由（1）知（x1）²+（x₂）²+…（x_n）²
=1+（）²+（）²+…（）²
因为1+（）²+（）²+（）²+…（）2
=[1+（）²+（）²+…（）^2]+[1+（）²+（）²+（）²+…（）²]
即1+（）²+（）²+…（）²=1+（）²+（）²+（）²+…（）2
又因为 1+[（）²+（）²+（）²+（）²+（）²+（）²]+（）²+…
＜1+[（）²+（）²+（）²+（）²+（）²+（）²+8（）²+…
=1+++…=2
即就是1+（）²+（）²+（）²+…（）²＜2
所以 1+（）²+（）²+…（）＜×2=
即1+（）²+（）²+…（）＜
所以＜
即
点评：本题主要考查了数列在实际中的应用．本题在数列求和问题时，巧妙的用了分组法．