Question

已知函数f(x)=

2

x-1

(x∈[2，6])．，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：先利用定义法判断函数f（x）的单调性，然后利用函数的单调性求出其值域；

解答：解：设2≤x₁＜x₂≤6，
则f(x1)-f(x2)=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵2≤x₁＜x₂≤6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在[2，6]上为减函数
∴函数f(x)=

2

x-1

在[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值，
即f（x）的最大值为f（2）=2，
f（x）的最小值为f(6)=

2

5

故f（x）的值域为[

2

5

，2]．

点评：此题主要考查利用函数的单调性求其值域，计算量比较大，是一道中档题；