Question

（2013•眉山一模）已知数列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，数列{b_n}，点（n，b_n）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量

BC

=（1，2）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=n•2bn，试求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由给出的递推式得到数列{a_n}是等差数列，可直接利用等差数列的通项公式求解．题目给出了直线l经过顶点A，且给出了方向向量

BC

，设出直线l上的任意一点的坐标，由共线向量基本定理可求直线l的方程，然后把点（n，b_n）代入所求的直线方程即可得到数列{b_n}的通项公式；
（2）把（1）中求出的数列{b_n}的通项公式代入c_n=n•2bn，利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和．

解答：解：（1）在数列{a_n}中，∵a_n+1=a_n+1，∴a_n+1-a_n=1
则数列{a_n}是公差为1的等差数列，又a₁=6，
∴a_n=a₁+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
设l上任意一点P（x，y），∵点A（0，1）在直线l上，则

AP

=（x，y-1），
由已知可得

AP

∥

BC

，又向量

BC

=（1，2），
∴2x-（y-1）=0，∴直线l的方程为y=2x+1，
又直线l过点（n，b_n），∴b_n=2n+1；       
（2）由cn=n•2bn=n•22n+1
∴S_n=C₁+C₂+…+c_n
=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+n•2²ⁿ⁺¹①
4Sn=1×25+2×27+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3②
①-②得：-3Sn=23+25+27+…+22n+1-n•22n+3．
=

8(1-4n)

1-4

-n•22n+3=

8(1-4n)

-3

-n•22n+3
∴Sn=

8+(3n-1)22n+3

9

．

点评：本题考查了数列中等差关系的确定，考查了由直线的方向向量求直线的方程，训练了共线向量基本定理，如果直线l的方向向量为

m

=(a，b)，则该直线的斜率为k=

b

a

，考查了数列求和的常用方法，错位相减法，求一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的新数列的和，最常用的方法就是错位相减法，利用错位相减法学生最容易忽落的就是最后一项的符号，从而导致解读出错．此题属中档题型．