Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n=

n+2

3

a_n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项a_n；
（2）记b_n=

an+1

an

+

an

an+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求证：T_n-2n＜3．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式代入计算，可求a₂，a₃，再写一式，两式相减，再利用叠乘法，即可求数列{a_n}的通项a_n；
（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：n=2时，S₂=

4

3

a₂，∵a₁=1，∴1+a₂=

4

3

a₂，∴a₂=3；
n=3时，S₃=

5

3

a₃，∴4+a₃=

5

3

a₃，∴a₃=6；
∵S_n=

n+2

3

a_n，∴n≥2时，S_n-1=

n+1

3

a_n-1，
两式相减可得a_n=

n+2

3

a_n-

n+1

3

a_n-1，
∴

an

an-1

=

n+1

n-1

∴a_n=a₁•

a2

a1

•…•

an

an-1

=

n(n+1)

2

．
（2）证明：bn=

an+1

an

+

an

an+1

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴Tn-2n=2(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜3．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．