Question

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

探究：它是解析几何与代数中的最大值的综合题．本题解答的关键是怎样运用“最远距离是”这个条件，可尝试用两点距离公式，转化为函数的最大值问题来解． 　　解：设所求椭圆方程为＝1(a＞b＞0)， 　　由e＝，得a＝2b，① 　　设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，则 　　x2＝，且 　　d2＝x2＋(y－)2＝＝－3y2－3y＋4b2＋＝－3(y＋)2＋4b2＋3其中－b≤y≤b． 　　如果b＜，则当y＝－b时， 　　d2取得最大值()2＝(b＋)2 　　解得与b＜矛盾． 　　如果b≥，则当y＝－时， 　　d2取得最大值()2＝4b2＋3，② 　　由①、②可得b＝1，a＝2． 　　所求椭圆方程为＝1， 　　由y＝－可得椭圆上到点P的距离等于的点为(，－)，(，－)． 　　规律总结：本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要掌握全面的基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围．