Question

设过椭圆C：+y²=1(a＞1)中心O的直线与椭圆C的左准线交于点M，与椭圆C交于点P，过点P与左焦点F₁(-c，0)的直线l：x=my-c交椭圆C于另一点Q．

(Ⅰ)若且M的纵坐标为时，求椭圆C的方程；

(Ⅱ)当椭圆C的离心率e=，且时，求m的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)设O(0，0)，P(x₀，y₀)，M()(x₀＜0)，

∵，则P是OM的中点，

∵M的纵坐标为，P(x₀，y₀)在椭圆上，

∴，

解之：x₀=-1，a²=2，则椭圆C的方程为+y²=1，

(Ⅱ)由e=可知：e=a²=3，c=，

∵，消去x整理得:(3+m²)y²-2my-1=0①

设点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则y₁+y₂=，

y₁·y₂=，

∴=( x₁，y₁), =( x₂，y₂)，∴·=x₁·x₂+ y₁·y₂，

又x₁·x₂=(m y₁-)(my₂-)=m²y₁·y₂-m(y₁+y₂)+2

=，

∴·=，

解得m²=,从而m=±．