Question

18．已知函数f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤)是R上的偶函数，其图像关于点M(，0)对称，且在区间［0，］上是单调函数.求和的值.

Answer 1

18.

解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，

即　sin(－x+)=sin(x+),

所以　－cossinx =cossinx

对任意x都成立，且>0，所以得cos=0,

依题设0≤≤,所以解得＝.

由f(x)的图像关于点M对称，得f(－x)=－f(＋x)，

取x=0，得f()=－f()，所以f()＝0，

∵f()=sin(+)=cos,

∴cos=0，又＞0，得＝＋k,k=0,1,2,…,

∴=(2k+1),k=0,1,2,….

当k=0时，＝，f(x)=sin()在［0，］上是减函数；

当k=1时，=2，f(x)＝sin(2x+)在［0，］上是减函数；

当k≥2时，≥，f(x)＝sin(x+)在［0，］上不是单调函数.

所以，综合得=或＝2.