Question

如图,将长AA′=,宽AA₁=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱,如图所示:

(1)求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值;

(2)求三棱锥A₁—APQ的体积.

Answer 1

解：(1)依题意,知三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,且侧棱AA₁=3,底面边长为,BP=1,

CQ=2.延长QP交BC延长线于点E,连结AE.在△ACE中,AC=,CE=2BC=2,∠ACE=60°,于是∠EAC=90°,AE=3.由于△CAE为直角三角形,CA⊥AE,连结QA,则QA⊥AE,∠QAC即为平面APQ与底面ABC所成角的平面角.在Rt△QAC中,tan∠QAC==.所以平面APQ与平面ABC所成二面角的正切值为.

(2)连结A₁P,则=AA₁·AB=×3×=.因为CC₁∥平面A₁AP,Q是CC₁上的点,所以Q到平面A₁AP的距离等于C到平面A₁AP的距离.因为平面A₁AP⊥平面ABC,所以C到平面A₁AP的距离即为正△ABC的高h=×=.

所以=××=.