Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E为AD中点，F为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥D₁F；
（Ⅱ）求证：CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ） 求平面AD₁F与底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD
∵DD₁⊥平面ABCD，AD?平面ABCD
∴AD⊥DD₁
∵DD₁∩CD=D，∴AD⊥平面CDD₁C₁
∵D₁F?平面CDD₁C₁，∴AD⊥D₁F
（Ⅱ）证明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁D，交AD₁于点M，连接ME，MF，则M为AD₁中点．
∵E为AD中点，F为CC₁中点．
∴
又∵
∴四边形CEMF是平行四边形，∴CE∥MF…（8分）
∵CE?平面AD₁F，MF?平面AD₁F，∴CE∥平面AD₁F．
（Ⅲ）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），F（0，1，1）
∴平面ABCD的法向量为
设平面AD₁F的法向量为=（x，y，z）．
∵，则有
∴
取z=1，得=（2，1，1）．
∴
∵平面AD₁F与平面所成二面角为锐角．
∴平面AD₁F与底面ABCD所成二面角的余弦值为．
分析：（Ⅰ）先证明AD⊥CD，AD⊥DD₁，可得AD⊥平面CDD₁C₁，从而可得AD⊥D₁F；
（Ⅱ）连接A₁D，交AD₁于点M，连接ME，MF，则M为AD₁中点，利用三角形中位线性质，可得线线平行，可得四边形CEMF是平行四边形，从而可得CE∥MF，利用线面平行的判定，可得CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，确定平面ABCD的法向量为，平面AD₁F的法向量=（2，1，1），利用向量的夹角公式，即可求得平面AD₁F与底面ABCD所成二面角的余弦值．
点评：本题考查线面位置关系，考查线面垂直、线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确运用空间向量解决面面角问题，属于中档题．