Question

设实数x，y满足不等式

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥0

，若ax+y的最大值为1，则直线ax+y+1=0的倾斜角的取值范围是

[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=y-ax表示直线在y轴上的截距，-a表示直线的斜率，欲求直线ax+y+1=0的倾斜角的取值范围，只需求出a的取值范围即可．

解答：解：约束条件

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥0

，对应的平面区域如下图示：
根据题意知，目标函数z=ax+y（其中a为常数）在A（0，1）处取得最大值1，
则直线z=ax+y的斜率-a必须介于直线x+y-1=0和直线x-y+1=0的斜率之间，即要满足-1≤a≤1，
从而直线ax+y+1=0的斜率-a的取值范围是[-1，1]，
则直线ax+y+1=0的倾斜角的取值范围是[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）．
故答案为：[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）．

点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．