Question

在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=a，AC=b，AA₁=c，∠BAC=90°．
（1）求使AB₁⊥BC₁的充要条件（用a，b，c表示）；
（2）求证∠B₁AC₁为锐角；
（3）若∠ABC=60°，则∠B₁AC₁是否可能为45？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）可得=（a，0，c），，令，可得c²-a²=0，进而得到答案．
（2）由题意可得：=（a，0，c），=（0，b，c），可得•=c²＞0，进而得到答案．
（3）若∠ABC=60°，则b=a，根据向量的数量积可得：cos∠B₁AC₁==＜1，即可得到答案．
解答：解：分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为AB=a，AC=b，AA₁=c，
所以由题意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）由以上可得：=（a，0，c），，
因为AB₁⊥BC₁，
所以，即c²-a²=0，
所以使AB₁⊥BC₁的充要条件是c²-a²=0．
（2）由题意可得：=（a，0，c），=（0，b，c），
所以•=c²＞0，
所以与的夹角为锐角，即∠B₁AC₁为锐角．
（3）若∠ABC=60°，则b=a，
所以cos∠B₁AC₁===＜1，
所以∠B₁AC₁可能为45．
点评：本小题考查线线垂直、线线角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．