Question

已知函数 ．

（Ⅰ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a ²-3)上存在极值，求a的取值范围；

（Ⅱ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；

（Ⅱ），函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知

令，解得或

 不在(a，a ²-3)内

要使函数y=f(x)在区间(a，a ²-3)上存在极值，只需

解得      6分

（Ⅱ） 

在（0，2）上恒成立，即函数数y=f(x)在（0，2）内单调递减

又

函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点      12分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及函数零点问题。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及函数的零点问题，研究了函数的单调性及在区间端点的函数值的符号。