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    如图2-5-14,已知AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D,以C为圆心,CD为半径作⊙C交⊙O于E、F,连结EF交CD于M.

    求证:CM=MD.

    图2-5-14

    证明:双向延长CD分别交⊙O、⊙C于Q、P,

    ∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,

    ∴CD=DQ.

    ∵CD=PC,∴PC=DQ.

    根据相交弦定理得CM·MQ=EM·MF=MD·MP.

    ∴CM(MD+DQ)=MD(MC+PC).

    ∴CM·MD+CM·DQ=MD·MC+MD·PC.

    ∴CM·DQ=MD·PC.

    又∵DQ=PC,

    ∴CM=MD.

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