Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a_n=5S_n-3(n∈N*),求(a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1)的值.

Answer 1

分析：由式子a_n=5S_n-3,易得到a_n与S_n的关系式.由a_n=S_n-S_n-1(n≥2),利用此式,再对n进行合适的赋值,便可消去S_n,得到{a_n}的递推关系式,进而确定数列{a_n},再求(a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1).

解：a₁=S₁,a_n=S_n-S_n-1(n≥2).

又已知a_n=5S_n-3,∴a_n-1=5S_n-1-3(n≥2).

两式相减,得a_n-a_n-1=5(S_n-S_n-1)=5a_n(n≥2).

∴a_n=-a_n-1(n≥2).      

由a₁=5S₁-3及a₁=S₁,得a₁=.

可见{a_n}是首项为,公比q=-的等比数列.     

∴a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1是首项为,公比为q²=(-)²=的等比数列.        

由于|q²|<1,∴( a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1)=