Question

已知函数f(x)=

3

(1+cosx)-sinx，在△ABC中，AB=

3

，f(C)=

3

，且△ABC的面积为

3

2

，
（1）求C的值；
（2）求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的余弦函数好聚好散的表达式，通过已知条件即可求C的值；
（2）通过三角形的面积以及余弦定理和正弦定理直接求sinA+sinB的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

(1+cosx)-sinx=2cos(x+

π

6

)+

3

由f(C)=

3

，得2cos(C+

π

6

)+

3

=

3

，得，2cos(C+

π

6

)=0
∵C∈（0，π），∴C+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)
∴C+

π

6

=

π

2

∴C=

π

3

（2）由（1）知C=

π

3

，又∵S△ABC=

1

2

absinC
∴

3

2

=

1

2

absin

π

3

∴ab=2
由余弦定理得3=a2+b2-2abcos

π

3

=a2+b2-2
∴a²+b²=5∴a+b=3
由正弦定理得 

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

c

=

1

2

…（12分）
∴sinA+sinB=

1

2

(a+b)=

3

2

点评：本题考查三角函数的化简求值正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．