Question

已知中心在坐标轴原点O的椭圆C经过点A（1，

3

2

），且点F（-1，0）为其左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）试判断以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）依题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆C经过点A（1，

3

2

），且点F（-1，0）为其左焦点，
∴椭圆的右焦点为F‘（1，0），
∴|AF|=

4+ 9 4

=

5

2

，|AF′|=

0+ 9 4

=

3

2

，
∴

c=1 2a=|AF|+|AF′|=4

，
∴a=2．c=1，
所以，离心率e=

c

a

=

1

2

．（6分）
（2）由已知得，以椭圆长轴为直径的圆的方程为x²+y²=4，
圆心坐标为（0，0），半径为2，（8分）
以AF为直径的圆的方程为x2+(y-

3

4

)2=

25

16

 ，
圆心坐标为（0，

3

4

），半径为

5

4

，（10分）
由于两圆心之间的距离为

(0-0)2+( 3 4 -0)2

=

3

4

=2-

5

4

，
故以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切．（13分）