Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[0，

π

3

]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）用二倍角的正、余弦公式将f（x）表达式进行降次，再用辅助角公式合并，可得f（x）═2sin（2x+

π

6

），最后可由三角函数的周期公式求得f（x）的最小正周期；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），并解之可得函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)；
（3）因为0≤x≤

π

3

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，结合正弦函数的图象与性质，可得当x=0或

π

3

时，函数有最小值为1；当x=

π

6

时，函数有最大值为2．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（3）若x∈[0，

π

3

]，即0≤x≤

π

3

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
可得当2x+

π

6

=

π

6

或

5π

6

时，即x=0或

π

3

时，函数有最小值为1；
当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，函数有最大值为2．

点评：本题将一个函数化简整理为y=Asin（ωx+φ）的形式，并求它的单调性、周期性和最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和三角函数的最值等知识点，属于中档题．