Question

已知椭圆C₁的方程为+y²=1,双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点,而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

(1)求双曲线C₂的方程;

(2)若直线l:y=kx+与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点,且l与C₂的两个交点A和B满足·＜6(其中O为原点),求k的取值范围.

Answer 1

解：(1)设双曲线C₂的方程为-=1,则a²=4-1=3,b²=4-3=1.

    故C₂的方程为-y²=1.

(2)将y=kx+代入+y²=1,得

(1+4k²)x²+8kx+4=0.

    由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

Δ₁=(8k)²-4(1+4k²)×4＞0,

    即k²＞.                                             ①

    将y=kx+代入-y²=1,得(1-3k²)x²-6kx-9=0.

    由直线l与C₂有两个不同的交点得

    即k²＜1且k²≠.                                      ②

    设A(x₁,y₂)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=,x₁x₂=.

    由·＜6,得x₁x₂+y₁y₂＜6,

    而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+)(kx₂+)

=(1+k²)x₁x₂+k(x₁+x₂)+2=,

    于是＜6,即＞0.

∴k²＞或k²＜.                                        ③

    由①②③得＜k²＜或＜k²＜1.

    故k的取值范围为(-1,-)∪(-,-)∪(,)∪(,1).