Question

已知函数f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x+m在区间[0，

π

2

]上的最大值为2．
（1）求常数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为

3 3

4

．求边长a．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的最大值为1，及函数最大值是2，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）由f（A）=1及第一问确定的函数解析式，得到sin（2A+

π

6

）的值，由A为三角形的内角，求出2A+

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值求出2A+

π

6

的值，得到A的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinC，得到b与c的方程，由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得到b与c的另一个方程，联立两方程求出b与c的长，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的长．

解答：解：（1）f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x+m
=

3

sin2x+（1+cos2x）+m
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+m+1
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∵正弦函数在区间[

π

6

，

π

2

]上是增函数，在区间[

π

2

，

7π

6

]上是减函数，
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，函数f（x）在区间[0，

π

2

]上取到最大值，
由f（x）_max=m+3=2，解得：m=-1；
（2）由m=-1，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∵f（A）=1，∴2sin（2A+

π

6

）=1，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，，又2A+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
解得：A=0（舍去）或A=

π

3

，
∵sinB=3sinC，
∴利用正弦定理化简得：b=3c①，
∵△ABC面积为

3 3

4

，A=

π

3

，即sinA=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

，
整理得：bc=3②，
联立①②，解得：b=3，c=1，
∵a²=b²+c²-2bc•cosA=3²+1²-2×3×1×cos

π

3

=7，
∴a=

7

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，三角形的面积公式，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．