Question

设长方体中，，AB＝3，正为线段AB上一点，问E在什么位置时，平面⊥平面?

Answer 1

答案：略
解析：

如图，设M是的中点，N是的中点，连结EM、EN，∵在Rt△CBE和Rt，△中，，∴．同理，∴EM⊥，EN⊥DA．∵∥，平面，而平面，∴∥平面．∴平行于平面与平面，的交线l，∴l⊥平面EMN，∴∠MEN为平面与平面所成二面角的平面角．设AE＝a，BE＝3－a，，∴．∵，∴．又∵，∴．由题设平面⊥平面，∴MEN＝90°，∴，即，∴a＝1或b＝2，∴当AE＝1或AE＝2时，平面平面． 如图所示，平面与面在图上只有一个交点E，要证它们垂直，应作出它们所成二面角的平面角，由∥，得平面与平面的交线l与平行．又∵CE＝，，取中点M，中点N，得，，∴平面EMN，为所需的二面角的平面角．再利用勾股定理列方程，可求点出E点的位置． 证明面面垂直通常有两种方法：一是利用定义寻找直二面角，二是利用判定定理找面的垂线．