Question

4．若正数a，b满足：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$则$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得b=$\frac{2a}{a-1}$且a-1＞0，代入消元并化简可得$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a-1}{2}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵正数a，b满足$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，
∴b=$\frac{2a}{a-1}$，由b=$\frac{2a}{a-1}$＞0可得a-1＞0，
∴$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{\frac{2a}{a-1}-2}$
=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a-1}{2a-2（a-1）}$
=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a-1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a-1}•\frac{a-1}{2}}$=2
当且仅当$\frac{2}{a-1}$=$\frac{a-1}{2}$即a=b=3时取等号
故选：A

点评 本题考查基本不等式求最值，消元并转化为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．