Question

若函数f（x）=x³+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈

（-2，

2

3

）

．

Answer 1

分析：先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．

解答：解：∵f（-x）=（-x）³+3（-x）=-（x³+3x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x²+3＞0，∴f（x）单调递增，
f（mx-2）+f（x）＜0可化为f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
∴对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
则

-2x+x-2＜0 2x+x-2＜0

，解得-2＜x＜

2

3

，
故答案为：（-2，

2

3

）．

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．