Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

 =1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且短轴长为2．
（I）求椭圆方程；
（II）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线交椭圆于A、B两点，试将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

（I）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

 =1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且短轴长为2
∴

c

a

=

3

2

，b=1
∵a²=b²+c²
∴a²=4
∴椭圆方程为

x2

4

+y2 =1
（II）由题意知：|m|≥1，
当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，

3

2

）  点B（1，-

3

2

） 此时|AB|=

3

；
当m=-1时，同理可得|AB|=

3

；
当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2 4 +y2 =1

可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1•x2=

4k2m2-4

1+4k2

，
∵l与圆x²+y²=1相切
∴圆心到直线l的距离等于圆的半径，即

|km|

1+k2

=1
∴m=

1+k2

k2

，
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=

(1+k2)•[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2

=

4 3 |m|

m2+3

由于当m=±1时，|AB|=

3

，
当m≠±1时，|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，此时m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
又|AB|=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，（当且仅当m=±

3

时，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值为2．
故|AB|的最大值为2．