Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(Ⅰ)证明：PQ∥平面ACD；
(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点， 所以PQ∥EB， 又DC∥EB， 因此PQ∥DC， 从而PQ∥平面ACD.
(Ⅱ)解：如图，连结CQ，DP， 因为Q为AB的中点，且AC=BC， 所以CQ⊥AB， 因为DC⊥平面ABC，EB∥DC， 所以EB⊥平面ABC， 因此CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE． 由(Ⅰ)有PQ∥DC， 又PQ=EB=DC，所以四边形CQPD为平行四边形， 故DP∥CQ， 因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角， 在Rt△DPA中，， 因此AD和平面ABE所成角的正弦值为。