Question

（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=

x2+ax+7+a

x+1

，a∈R．若对于任意的x∈N^*，f （x）≥4恒成立，则a的取值范围是

[

1

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：根据已知中函数f （x）=

x2+ax+7+a

x+1

，a∈R．若对于任意的x∈N^*，f （x）≥4恒成立，我们可将其转化为a≥-[(x+1)+

8

x+1

]+6恒成立，进而将其转化为a≥g（x）_max=-[(x+1)+

8

x+1

]+6，解不等式可得a的取值范围．

解答：解：∵函数f （x）=

x2+ax+7+a

x+1

，且f （x）≥4，对于任意的x∈N^*恒成立
即a≥-

x2-4x+3

x+1

=-

(x+1)2-6(x+1)+8

x+1

=-[(x+1)+

8

x+1

]+6
令g（x）=-[(x+1)+

8

x+1

]+6，则g（x）≤6-4

2

，当且仅当x=2

2

-1时g（x）取最大值
又∵x∈N^*，
∴当x=2时，g（x）取最大值

1

3

故a≥

1

3

即a的取值范围是[

1

3

，+∞）
故答案为：[

1

3

，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．