Question

已知函数．
（1）作出f（x）的图象；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）＜0时的x取值集合；
（4）讨论方程f（x）=b解的个数．

Answer 1

解：（1）函数的的图象如下图所示：

（2）由（1）中函数图象可得：
函数的的值域为：[-8，1]

（3）由（1）中函数图象可得：
当x＜0或2＜x≤3时，f（x）＜0
故f（x）＜0时的x取值集合为：（-∞，0）∪（2，3]

（4）当b＜-8时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解；
当b=-8时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当-8＜b＜-4时，函数图象与直线y=b有两个交点，此时方程f（x）=b有两个解；
当b=-4时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解；
当-4＜b＜-3时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当-3≤b＜1时，函数图象与直线y=b有两个交点，此时方程f（x）=b有两个解；
当b=1时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当b＞1时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解．
分析：（1）分段函数的图象可分段处理，即在同一坐标系中分别化出三段的图象，最后得到函数的的图象．
（2）由（1）的图象，分析分段函数每一段上函数值的取值范围，其并集即为函数的值域．
（3）由（1）的图象，易得到f（x）＜0时，即函数图象位于X轴下方的x取值集合；
（4）由（1）的图象，我们分段讨论函数图象与直线y=b的交点个数，即为方程f（x）=b解的个数．
点评：本题考查的知识点是分段函数的图象及性质，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．