Question

求证：xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（n≥2，n∈N）.

Answer 1

证明：（1）当n=2时，x²-2ax+a²=（x-a）²能被（x-a）²整除.命题成立.

（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，即x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k能被（x-a）²整除.

则当n=k+1时，

x^k+1-（k+1）a^kx+ka^k+1

=x·［x^k-k·a^k-1x+（k-1）a^k］+ka^k-1x²-2ka^kx+ka^k+1

=x·［x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k］+ka^k-1·（x-a）².

x^k-ka^k-1x+（k-1）·a^k，ka^k-1（x-a）²均可被（x-a）²整除.所以命题对n=k+1也成立.

由（1）（2）可知，命题对n∈N，n≥2都成立.