Question

如图，已知平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°

(1)证明：C₁C⊥BD

(2)假定CD＝2，CC₁＝．设CD＝2，CC₁＝．设面C₁BD为．面CBD为．求二面角―BD―的余弦．

(3)当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD．请给出证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连A1C1、AC．AC和BD交于O，连接C1O． 　　∵四边开ABCD是菱形 　　∴AC⊥BD，BC＝CD 　　又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C 　　∴△C1BC≌△C1DC 　　∴C1B＝C1D 　　∵OD＝OB 　　∴C1O⊥BD 　　但AC⊥BD，AC∩C1O＝O 　　∴BD⊥面AC1，又C1C面AC1 　　∴C1C⊥BD 　　(2)由AC⊥BD，C1O⊥BD 　　∴∠C1OC是二面角―BD―的平面角． 　　在△C1BC中，BC＝2，C1C＝，∠BCC1＝60° 　　∴C1B2＝22＋()2－2×2××cos60°＝ 　　∵∠OCB＝30° 　　∴OB＝BC＝1 　　∴C1O2＝C1B2－OB2＝－1＝ 　　∴C1O＝，即C1O＝C1C，作C1H⊥OC，垂足为H． 　　∴H是OC中点，且OH＝． 　　∴cosC1OC＝＝ 　　(3)由(1)知BD⊥面AC1， 　　∵A1C面AC1． 　　∴BD⊥A1C，当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C．又BD∩BC1＝B 　　∴A1C⊥面C1BD．