Question

7．已知函数$f（x）=lnx+\frac{2a}{x}$．
（1）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得x-2a≥0即2a≤x在区间[2，+∞）恒成立，求得x的最小值，即可得到a的范围；
（2）求出f（x）的导数，讨论①当$a≤\frac{1}{2}$时，②当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$时，③当$a≥\frac{e}{2}$时，由单调性和恒成立思想解方程可得a的值．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}$，∵f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，
∵x²＞0，∴x-2a≥0即2a≤x在区间[2，+∞）恒成立，
即2-2a≥0解得a≤1；
（2）$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}$，
①当$a≤\frac{1}{2}$时，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≥0$在[1，e]恒成立，
∴f（x）在区间[1，e]为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=2a=3，得$a=\frac{3}{2}$不符合题意舍；
②当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$时，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≤0$在[1，2a]成立，
∴f（x）在区间[1，2a]为减函数，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≥0$在[2a，e]成立，
∴f（x）在区间[2a，e]为增函数，
∴f（x）_min=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得a=$\frac{{e}^{2}}{2}$（舍）；
③当$a≥\frac{e}{2}$时，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≤0$在[1，e]恒成立，
∴f（x）在区间[1，e]为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=lne+$\frac{2a}{e}$=3，
解得a=e．
综上可得，a的值为e．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用，以及转化思想和分类讨论的思想方法，运算求解能力，属于中档题．