Question

已知函数f(x)=［tln(x+2)-ln(x-2)］,且f(x)≥f(4)恒成立.

(1)求t的值；

(2)求x为何值时，f(x)在［3，7］上取最大值；

(3)设F(x)=aln(x-1)-f(x),若F(x)是单调递增函数，求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)∵f(x)=［tln(x+2)-ln(x+2)］,且f(x)≥f(4)恒成立，

∴f(x)的定义域为(2,+∞),且f(4)是f(x)的最小值.

又∵f′(x)=［］,

∴f′(4)=0.解得t=3.

(2)由上问知f′(x)=［］=.

∴当2＜x＜4时,f′(x)＜0;当x＞4时,f′(x)＞0.

∴f(x)在(2,4)上是减函数，在（4，+∞）上是增函数.

∴f(x)在［3，7］上的最大值应在端点处取得.

∵f(3)-f(7)=［3ln5-ln1］-［3ln9-ln5］=［ln625-ln729］＜0,∴f(3)＜f(7),

即当x=7时,f(x)取得在［3，7］上的最大值.

(3)∵F(x)是单调递增函数,F′(x)≥0恒成立,

又∵F′(x)=,

显然在f(x)的定义域(2,+∞)上,(x-1)(x²-4)＞0上恒成立.

∴(a-1)x²+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.

下面分情况讨论(a-1)x²+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立时,a的解的情况.

当a-1＜0时,显然不可能有(a-1)x²+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.

当a-1=0时,(a-1)x²+5x-4(a+1)=5x-8≥0在(2,+∞)上恒成立.

当a-1＞0时,又有两种情况:①Δ=5²+16(a-1)(a+1)≤0；

②＜2且(a-1)·2²+5×2-4(a+1)≥0.

由①得16a²+9≤0，无解；由②得a≥.

∵a-1＞0,∴a＞1.

综上所述各种情况，当a≥1时,(a-1)x²+5x-4(a+1)＞0在(2,+∞)上恒成立.

∴所求的a的取值范围为［1,+∞).