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    f(x)=
    x+2
    		2
    +2sin(x+
    π
    4
    )
    2+cosx
    在[-2，2]上的最大值与最小值之和为
    2
    		2
    2
    		2
    ．
    分析：用常数分离法化简函数的解析式为f（x）=
    		2
    +
    x+
    		2
    sinx
    2+cosx
    ，令 g（x）=
    x+
    		2
    sinx
    2+cosx
    ，则有f（x）=
    		2
    +g（x），可得f（x）的最大值与最小值的和等于2
    		2
    加上g（x）的最大值与最小值．根据函数 g（x）为奇函数，可得 g（x）的最大值与最小值的和等于零，由此求得f（x） 的最大值与最小值之和．
    解答：解：∵f(x)=
    x+2
    		2
    +2sin(x+
    π
    4
    )
    2+cosx
    =
    x+2
    		2
    +2•sinx•cos
    π
    4
    +2cosx•sin
    π
    4
    2+cosx

    =
    x+2
    		2
    +
    		2
    sinx+
    		2
    cosx
    2+cosx
    =
    		2
    +
    x+
    		2
    sinx
    2+cosx
    ，
    令 g（x）=
    x+
    		2
    sinx
    2+cosx
    ，则有f（x）=
    		2
    +g（x），故f（x）的最大值与最小值的和等于2
    		2
    加上g（x）的最大值与最小值．
    由于函数 g（x）为奇函数，故 g（x）的最大值与最小值的和等于零，
    故f（x）的最大值与最小值的和等于2
    		2
    ，
    故答案为 2
    		2
    ．
    点评：本题主要考查用常数分离法化简函数的解析式，利用函数的奇偶性求函数的值，属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某同学探究函数f(x)=x+
    4
    x
    （x＞0）的最小值，并确定相应的x的值．先列表如下：
    x …
    1
    4
    1
    2
    		 1
    3
    2
    		 2
    8
    3
    		 4 8 16 …
    y … 16.25 8.5 5
    25
    6
    		 4
    25
    6
    		 5 8.5 16.25 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：（（1）（2）问的填空只要写出结果即可）
    （1）若x1x2=4，则 f（x1）
    =
    =
    f（x2）．（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+
    4
    x
    （x＞0）在区间 （0，2）上递减，则f（x）在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
      上递增；
    （2）当x=
    2
    2
    时，f(x)=x+
    4
    x
    （x＞0）的最小值为
    4
    4
    ；
    （3）根据函数f（x）的有关性质，你能得到函数f(x)=x+
    4
    x
    （x＜0）的最大值吗？为什么？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．
    列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减；
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．
    当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    证明：函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）递减．
    思考：
    （1）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
    （2）函数f(x)=x+
    k
    x
    (x＞0，k＞0)时有最值吗？    是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    观察下列表格，探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的性质，
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    （1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减；
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．
    当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    （2）证明：函数f(x)=x+
    4
    x
    在区间（0，2）递减．
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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    科目：高中数学 来源：徐州模拟 题型：解答题

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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