Question

已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

解：（1）设动点P的坐标为（x，y），则直线PA，PB的斜率分别是，
由条件得，-----------------2分
即动点P的轨迹C的方程为-----------------6分分（注：无x≠0扣1分）
（2）设点M，N的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
ⅰ）当直线l垂直于x轴时，
∴
∴---------------10分
ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x+1），
由得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0----------11分
∴----------------12分
∴
又∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
∴-----------------13分
=-------------------14分
综上所述的最大值是----------------15分
∴λ的最小值为-----------------------16分
分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），可表示出直线PA，PB的斜率，根据题意直线PA、PB的斜率之积为 建立等式求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（2）设点M，N的坐标，当直线l垂直于x轴时，分别表示出 和 ，进而可求得 ；再看直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出 判断出其范围，综合求得 的最大值，根据恒成立，求得λ的最小值．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了知识的综合运用，分析推理和基本的运算能力．