Question

已知函数f(x)=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2处取得极值.

(1)求f(x)的表达式和极值.

(2)若f(x)在区间［m,m+4］上是单调函数,试求m的取值范围.

(3)存在正数t,使得对任意x₁,x₂∈［-t,t］,|f(x₁)-f(x₂)|≤27恒成立,试求t的取值范围.

Answer 1

解:(1)依题意得:f′(x)=6x²+2ax+b=0的两根为-1和2,∴得

∴f(x)=2x³-3x²-12x+3.∴f′(x)=6x²-6x-12=6(x+1)(x-2).

令f′(x)＞0,得x＜-1或x＞2;令f′(x)＜0,得-1＜x＜2.(列表)

∴f(x)_极大=f(-1)=10.∴f(x)_极小=f(2)=-17.4分

(2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1］和［2,+∞)上单调递增,在［-1,2］上单调递减.

∴m+4≤-1或或m≥2.∴m≤-5或m≥2,

即m的取值范围是(-∞,-5］∪［2,+∞).

(3)由(1)知,f(x)_极大-f(x)_极小=27.令f(x)=2x³-3x²-12x+3=10,

得2x³-3x²-12x-7=02(x³+1)-3(x²+4x+3)=0;(x+1)²(2x-7)=0.得x₁=-1,x₂=.

令f(x)=-17得2x³-3x²-12x+20=0(x-2)²(2x+5)=0.得x₃=2,x₄=.

依题意得［-t,t］［,］.∴t≤.∴t的最大值是.