Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
(Ⅰ)证明：CD⊥AE；
(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 故PA⊥CD， ∵AC⊥CD，PA∩AC=A， ∴CD⊥平面PAC，AE平面PAC， ∴AE⊥CD。 (Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA， ∵E是PC的中点， ∴AE⊥PC， 由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C， 所以AE⊥平面PCD，而PD平面PCD， ∴AE⊥PD， ∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥AB， 又AD⊥AB，PA∩AD=A， ∴AB⊥面PAD， ∴AB⊥PD， 又AB∩AE=A， 综上得，PD⊥平面ABE。
(Ⅲ)解：由题设PA⊥底面ABCD，PA平面PAD， 则平面PAD⊥平面ACD，交线为AD， 过点C作CF⊥AD，垂足为F， 故CF⊥平面PAD，过点F作FM⊥PD，垂足为M， 连接CM，故CM⊥PD，因此∠CMF是二面角A-PD-C的平面角， 由已知，可得∠CAD=30°， 设AC=a，可得PA=a，， ∵， ∴， 于是，， 在Rt△CMF中，， 故二面角A-PD-C的余弦值为。