Question

已知向量=（x，-y）（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有，当|x|≥2时，，
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对∪[2，+∞)，都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）当|x| ＜2 时，由，
即：（|x|＜2且x≠0）；
当|x|≥2时，由得；
∴
（2）当|x|＜2且x≠0时，由<0，解得，
当|x|≥2时，，
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，0）和（0，1）。
（3）对∪[2，+∞），都有，
也就是对∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，，
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增。
又，
当x≤-2时，，
∴当x∈（-∞，-2]时，，
同理可得，当x≥2时，有，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2。