Question

数列{a_n}满足

(Ⅰ)当a₂＝－1时，求λ及a₃的值；

(Ⅱ)数列{a_n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

(Ⅲ)求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n＞m时总有a_n＜0．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由于且a1＝1， 　　所以当a2＝－1时，得， 　　故 　　从而 　　(Ⅱ)数列{an}不可能为等差数列．证明如下： 　　由a1＝1，得 　　 　　若存在，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即 　　 　　解得＝3． 　　于是 　　这与{an}为等差数列矛盾，所以，对任意，{an}都不可能是等差数列． 　　(Ⅲ)记根据题意可知，b1＜0且，即＞2且N*)，这时总存在N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0－1时，bn＜0． 　　所以由an＋1＝bnan及a1＝1＞0可知，若n0为偶数，则，从而当n＞n0时an＜0；若n0为奇数，则，从而当n＞n0时an＞0． 　　因此“存在mN*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：no为偶数， 　　记no＝2k(k＝1，2，…)，则满足 　　 　　故的取值范围是4k2＋2k(kN*)．