Question

已知函数（a＞0，a≠1，m≠-1），是定义在（-1，1）上的奇函数．
（I）求f（0）的值和实数m的值；
（II）当m=1时，判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明；
（III）若且f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵f（0）=log_a¹=0．
因为f（x）是奇函数，
所以：f（-x）=-f（x）?f（-x）+f（x）=0
∴log_a+log_a=0；
∴log_a=0?=1，
即∴1-m²x²=1-x²对定义域内的x都成立．∴m²=1．
所以m=1或m=-1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=log_a；
设
设-1＜x₁＜x₂＜1，则
∵-1＜x₁＜x₂＜1∴x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
∴t₁＞t₂．
当a＞1时，log_at₁＞log_at₂，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
当0＜a＜1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．
（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0
得f（b-2）＞-f（2b-2），
∵函数f（x）是奇函数
∴f（b-2）＞f（2-2b）
，
∴0＜a＜1
由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函数
∴
∴
∴b的取值范围是
分析：（I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（-x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；
（II）先研究真数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性；
（III）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b-2）+f（2b-2）＞0转化为f（b-2）＞f（2-2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．
点评：本题主要考察对数函数图象与性质的综合应用．本题第二问涉及到复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循原则是：同增异减．