Question

已知函数f(x)=x³+bx²-3x(b∈(-∞，0])，且函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁、x₂，都有[f(x₁)-f(x₂)]≤c，求实数c的最小值；
(3)若过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题意得f′(x)=3x²+2bx-3，
因为函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，
所以，对x∈[1，+∞)恒成立，
所以对x∈[1，+∞)恒成立，
令，则，所以当x∈[1，+∞)时，ψ′(x)＜0恒成立，
所以函数ψ(x)是[1，+∞)上的单调减函数，
所以当x∈[1，+∞)时，函数ψ(x)的最大值是ψ(1)=0，
故2b≥0，即b≥0，又因为b∈(-∞，0]，所以b=0，
∴f(x)=x³-3x。
(2)由(1)可得，f′(x)=3x²-3，由f′(x)=3x²-3=0解得x=±1，

∵f(-1)=2，f(1)=-2，
∴当x∈[-2，2]时，，
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有，
所以c≥4，所以c的最小值为4。
(3)∵点M(2，m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上，
∴设切点为(x₀，y₀)，则，
，
∴切线的斜率为，则，
即，
因为过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
即函数有三个不同的零点，
则g′(x)=6x²-12x，令g′(x)=0，解得x=0或x=2，

由题意可得g(0)＞0，且g(2)＜0，
所以6+m＞0，且m-2＜0，解得：-6＜m＜2，
所以所求实数m的取值范围是-6＜m＜2。