Question

已知椭圆+y²=1.

(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

(2)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

(3)过点P(，)且被P点平分的弦所在直线的方程.

Answer 1

解:(1)设斜率为2的直线的方程为y=2x+b.由

得9x²+8bx+2b²－2=0,由(8b)²－4×9×(2b²－2)＞0得－3＜b＜3.

设平行弦的端点坐标为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),=－=－,－＜－＜.设弦的中点坐标为(x,y)，则

x==－，代入y=2x+b，得

x+4y=0(－＜x＜)为所求轨迹方程.

(2)设l与椭圆的交点为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，弦的中点为(x,y)，则+y₁²=1,+y₂²=1，两式相减并整理得(x₁－x₂)(x₁+x₂)+2(y₁－y₂)(y₁+y₂)=0.

又∵x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y，

∴2x(x₁－x₂)+4y(y₁－y₂)=0.

∴x+2y·=0.                                                                                                  ①

由题意知=,

代入①得x+2y·=0,

化简得x²+2y²－2x－2y=0.

∴所求轨迹方程为x²+2y²－2x－2y=0(夹在椭圆内的部分).

(注：设l的方程为y－1=k(x－2),仿(1)的解法也可)

(3)将x₁+x₂=1，y₁+y₂=1代入(x₁－x₂)·(x₁+x₂)+2(y₁－y₂)(y₁+y₂)=0得

=－.故所求的直线方程为2x+4y－3=0.