Question

如图，已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

Answer 1

解（Ⅰ）依题意有：e==①，a²-c²=b²=1②，
联立①②解得：a=，c=，
则椭圆C的方程为+y²=1；
（Ⅱ）证明：由•=0，得到AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，得到直线AQ的方程为y=-x+1（k≠0），
将y=kx+1代入椭圆C的方程+y²=1中，并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得：x=0或x=-，
∴P的坐标为（-，-+1），即（-，），
将上式中的k换成-，同理可得Q（，），
∴直线l的方程为y=（x-）+，
整理得：直线l的方程为y=x-，
则直线l过定点N（0，-）．
分析：（Ⅰ）由椭圆的解析式得到b=1，再利用椭圆的性质a²+b²=c²列出关系式，与e==联立组成方程组，求出方程组的解得到a与c的值，即可确定出椭圆的解析式；
（Ⅱ）由•=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到AP与AQ垂直，可得出AP与坐标轴不垂直，由A的坐标设出直线AP的方程为y=kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1表示出直线AQ的方程，将y=kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐标，将直线AQ方程代入椭圆方程，同理表示出Q的坐标，由P与Q的坐标，表示出直线l的两点式方程，整理后可得出直线l恒过定点N（0，-）．
点评：此题考查了恒过定点的方程，以及椭圆的标准方程，涉及的知识有：椭圆的基本性质，平面向量的数量积运算，以及直线的两点式方程，其计算性较大，是一道综合性较强的试题．