Question

在底面边长为a,侧棱长为2a的正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，求：

（1）点B到平面AB₁C的距离；

（2）以B₁C为棱，AB₁C和BB₁C为面所成二面角的正切值.

Answer 1

解析:（1）如图，设点E为AC的中点,作BO⊥B₁E于O,

∵AC⊥BE,BB₁⊥平面ABCD,

∴AC⊥平面BB₁E.又BO面BB₁E，

∴AC⊥BO,B₁E∩AC=E.

∴BO⊥平面AB₁C.

∴BO为B到平面AB₁C的距离.

在Rt△B₁BE中,BE=a,BB₁=2a,

∴B₁E=.

由面积关系得BO=.

（2）由BO⊥平面AB₁C，AF⊥B₁C，

∴BF⊥B₁C.

∴∠BFA是二面角A-B₁C-B的平面角.

在Rt△BB₁C中，BF·B₁C=BB₁·BC,

∴BF=a.∴tan∠BFA=AB∶BF=.

小结：（2）中作二面角用的方法是较常用的方法，这种方法的步骤是：过二面角的一个面内的一点（本例中的点B）向另一个半平面作垂线，再过垂足（本例中的点O）向棱（本例中的B₁C）作垂线（本例中的OF），再连结BF，则由三垂线定理知∠BFO为二面角AB₁CB的平面角.