Question

已知二次函数f（x）的定义域为R，f（0）=1，对任意实数a、b都有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的递增区间；
（3）设f（x）在区间[m，m+2]上的最大值为g（m），求g（m）的值域．

Answer 1

解：（1）∵二次函数f（x）满足f（0）=1，对任意实数a、b都有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），
令a=0可得 f（-b）=1-b（1-b）=1-b+b²，∴f（b）=1+b+b²，故有f（x）=x²+x+1．
（2）由于f（x）=x²+x+1 的对称轴为 x=-，图象为开口向上的抛物线，故函数的递增区间是．
（3）由于二次函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-，f（x）在区间[m，m+2]上的最大值为g（m），
①故当区间[m，m+2]的左端点到对称轴的距离大于或等于右端点到对称轴的距离时，即|m-（-）|≥|m+2-（-），即 m≤-时，
则当x=m时，f（x）取得最大值为 f（m）=m²+m+1，即 g（m）=m²+m+1．
这时，g（m）在区间（-∞，-]是减函数，故当m=-时，g（m）=m²+m+1取得最小值为，无最大值．
②故当区间[m，m+2]的左端点到对称轴的距离小于右端点到对称轴的距离时，即|m-（-）|＜|m+2-（-），即 m＞- 时，
则当x=m+2时，f（x）取得最大值为 f（m+2）=（m+2）²+m+2+1=m²+5m+7．
这时，g（m）在区间（-，+∞）上是增函数，g（m）=m²+5m+7＞g（-）=，g（m）=m²+5m+7无最大值．
综上可得，g（m）的最小值为，而g（m）没有最大值，故g（m）的值域为 ．
分析：（1）令a=0，由条件可得 f（-b）=1-b（1-b）=1-b+b²，可得 f（b）=1+b+b²，从而得到f（x）=x²+x+1．
（3）由题意可得，①故当区间[m，m+2]的左端点到对称轴的距离大于或等于右端点到对称轴的距离时，即m≤-时，g（m）=m²+m+1 由此求得g（m）的值域．
②故当区间[m，m+2]的左端点到对称轴的距离小于右端点到对称轴的距离时，即 m＞- 时，g（m）=m²+5m+7，由此求得g（m）的值域，再把这两个值域取并集，
即得所求．
点评：本题主要考查二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题．